Kaip ištirti ir sukurti funkcijų grafiką?

Šiandien mes siūlome kartu su mumis tyrinėti irpastatyti funkcijų grafiką. Atidžiai tiriant šį straipsnį, jums nereikia ilgai elgtis prakaituoti, kad atliktumėte tokį užduotį. Tai nėra lengva tirti ir sukurti funkcijų grafiką, darbas yra didelis, reikalaujantis maksimalaus dėmesio ir skaičiavimų tikslumo. Siekiant palengvinti medžiagos suvokimą, mes palaipsniui išmoksime tą pačią funkciją, paaiškinsime visus savo veiksmus ir skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabų ir patrauklų matematikos pasaulį! Eime!

Apibrėžimo sritis

Siekiant ištirti ir sukurti grafikąfunkcija, turite žinoti keletą apibrėžimų. Ši funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai rodo santykius tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) su pakeitimais. Funkcija taip pat parodo grupių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosiuskurios turi tam tikrą variacijos lygį. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekvienai antrojo kintamojo vertei atitinka vieną antrojo reikšmę. Be to, kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Paprastai sakoma, kad kintamieji x ir y yra funkciniai santykiai. Siekiant didesnio šios priklausomybės aiškumo, sukuriamas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijų grafika? Tai koordinatės plokštumos taškų rinkinys, kur kiekvienai x reikšmei tenka viena reikšmė y. Grafikai gali būti skirtingi: tiesi linija, hiperbolė, parabola, sinusoidas ir tt

Funkcijų diagrama negali būti pastatyta betyrimai. Šiandien mes išmokysime atlikti tyrimą ir sukurti funkcijų grafiką. Per apklausą labai svarbu pažymėti koordinatės plokštumą. Taigi susidoroti su užduotimi bus daug lengviau. Patogiausias studijų planas:

1. Apibrėžimo taikymo sritis.
2. Tęstinumas.
3. Lygumas ar keistumas.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Pastovumo ženklas.
8. Didėjantis ir mažėjantis.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtas ir įgaubtas.

Pradėkime nuo pirmos pastraipos. Mes nustatome apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais veikia mūsų funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Mūsų atveju egzistuoja bet kurioms x reikšmėms priklausanti funkcija, ty apibrėžimo sritis yra R. Ji gali būti parašyta taip xVR.

Tęstinumas

Dabar mes ištirsime funkcijątarpas. Matematikos, terminas "tęstinumas" buvo nuo judėjimo įstatymų tyrimo rezultatas. Kas yra begalinė? Erdvė, laikas, kai funkciją (pavyzdžiui, gali tarnauti kaip priklausomas kintamasis S ir t užduočių judėjimo), šildomos objekto temperatūra (vanduo, kepimui, termometru, ir taip toliau), nuolatinis linija (t.y., vienas, kad gali būti sudarytas be kėlimo iš lapo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, o netam tikru momentu yra sugadintas. Vienas iš akivaizdžiausių tokios schemos pavyzdžių yra sinusoidas, kurį galite pamatyti paveiksle šiame skyriuje. Funkcija tęsiasi tam tikru momentu x0, jei įvykdyta daugybė sąlygų:

• funkcija apibrėžiama tam tikru momentu;
• dešiniosios ir kairės ribos taške yra vienodos;
• Riba lygi funkcijos vertei taške x0.

Jei nesilaikoma vienos iš sąlygų,ši funkcija kenčia nuo pertraukos. Ir taškai, kuriuose funkcija yra sugadinta, yra įprasta skambinti pertraukos taškus. Grafiniame pateikime "sugadinta" funkcijos pavyzdys gali būti: y = (x + 4) / (x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti nuliu).

Tyrime atliktoje funkcijoje (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) viskas pasirodė esant paprastas, nes grafikas bus tęstinis.

Lygumas, keistumas

Dabar patikrink pariteto funkciją. Pradėti šiek tiek teorijos. Panaši funkcija vadinama lygiaverte f (-x) = f (x) bet kuriai x reikšmei (iš verčių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafika yra panaši į daw, diagramos pirmojo ir antrojo ketvirčio bisektorius);
• x aikštėje (parabola);
• x cosinus (cosinus).

Atkreipkite dėmesį, kad visos šios diagramos yra simetriškos, jei mes tai vertiname pagal y ašį (t. Y, y).

O kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f (-x) = -f (x) bet kuriai x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbola;
• kubinė parabola;
• sinusinė banga;
• tangentoidas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yrasimetrija pagal tašką (0: 0), tai yra kilmė. Atsižvelgiant į tai, kas buvo minėta šiame straipsnio skyriuje, net ir nelyginė funkcija turi turėti nuosavybę: x priklauso apibrėžimo rinkinio ir-x.

Pabandykime ištirti funkciją pagal paritetą. Matome, kad jis netinka jokiems aprašymams. Todėl mūsų funkcija nėra nei lygi, nei keista.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, ty atstumas nuo tam tikro taško linkęs nuliui. Yra trijų tipų asimptotės:

• Vertikaliai, ty lygiagrečiai y ašiai;
• Horizontalus, ty lygiagretus x ašiai;
• linkęs.

Kalbant apie pirmąją rūšį, šias tiesias linijas reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• atotrūkis;
• apibrėžimo srities galai.

Mūsų atveju funkcija yra tęstinė, o apibrėžimo sritis yra R. Taigi nėra vertikaliųjų asimptotinių.

Horizontalus asimptotė yra funkcijos grafike,kuri atitinka šį reikalavimą: jei x siekia begalybės arba minus begalybės, o riba yra lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). Šiuo atveju, y = a - tai horizontalus asimptotė. Funkcijos, kurią mes tiriame, nėra horizontalių asimptotės.

Pasviręs asimptotė egzistuoja tik tuo atveju, jei tenkinamos dvi sąlygos:

• Lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Tada jį galima rasti pagal formulę: y = kx + b. Vėlgi, mūsų atveju nėra nuolankių asimptotinių.

Zero funkcijos

Kitas etapas, kurį turime ištirtifunkcijos grafika nuliais. Labai svarbu pažymėti, kad uždavinys, susijęs su funkcijų nulio nustatymu, yra ne tik tyrimo ir funkcijų grafiko sudarymas, bet ir savarankiškas uždavinys bei būdas išspręsti nelygybes. Jums gali tekti rasti grafiko funkcijų nulius arba naudoti matematinį įrašą.

Šių verčių paieška padės jums daugiautiksliai parengti funkcijų grafiką. Paprastoje kalboje funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kurios y = 0 reikšmė. Jei ieškote funkcijų nulių grafike, atkreipkite dėmesį į taškus, kuriuose yra grafiko sankirta su abscisu ašimi.

Norėdami rasti funkcijos nulius, būtina išspręsti šią lygtį: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Atlikę reikiamus skaičiavimus gauname tokį atsakymą:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Rekomenduojama iš karto pažymėti raktinius taškus grafike.

Pastovumo ženklas

Kitas tyrimo ir funkcijos konstravimo etapas(grafika) yra ženklo konstanta intervalų nustatymas. Tai reiškia, kad mes turime nustatyti, kokiais intervalais funkcija turi teigiamą vertę, o kuri - neigiama. Tai padės mums padaryti funkcijos nulius, nustatytus paskutiniame skyriuje. Taigi, mes turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir teisingai paskirstyti funkcijos nulius iš mažesnės į didesnę. Dabar turime nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi ženklą "+" ir kuris "-".

Mūsų atveju, funkcija teigiamai vertės spragas:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama vertė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai pakankamai lengva apibrėžti. Pakeiskite bet kokį skaičių iš tarpo į funkciją ir pažiūrėkite, kuris simbolis buvo atsakymas (minusas ar pliusas).

Didėjanti ir mažėjanti funkcija

Norint ištirti ir pastatyti funkciją, turime žinoti, kur grafika augs (eikite išilgai koordinačių linijos Oy), ir ten, kur ji nukris (slinkti žemyn palei ordinato ašį).

Funkcija tik didėja, jeiDidesnė y reikšmė atitinka didesnę kintamojo x reikšmę. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f (x2) yra didesnis nei f (x1). Ir atvirkštinis poveikis pastebimas mažėjančia funkcija (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti padidėjimo ir sumažinimo intervalus, reikia rasti:

• domenas (jau turime);
• darinys (mūsų atveju: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• išspręsk 1/3 lygtį (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Po skaičiavimų gauname rezultatą:

• 7/3;
• 7.

Mes gauname: funkcija padidėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės ir mažėja intervale nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Funkcija y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)yra nuolat ir egzistuoja bet kokiam kintamojo x reikšmėms. Extremumo taškas rodo maksimalią ir mažesnę šios funkcijos vertę. Mūsų atveju nėra nė vieno, kuris labai supaprastintų statybos problemą. Priešingu atveju, ekstremumų taškai taip pat randami naudojant išvestinę funkciją. Nustačiusi, nepamirškite pažymėti juos diagramoje.

Išgaubtas ir įgaubtas

Mes toliau tiriame funkciją y (x). Dabar turime išbandyti jį išgaubti ir įgaubti. Šių sąvokų apibrėžtys yra sunkiai priimtinos, geriau analizuoti viską pagal pavyzdžius. Bandymui: išgaubta funkcija, jei tai yra neapibrėžtas integralas iš nesumažėjusios funkcijos. Sutinku, tai neaišku!

Mums reikia rasti antrosios funkcijos išvestinęužsakymas. Mes gauname: y = 1/3 (6x-28). Dabar mes lygiuojame dešiniąją pusę nuliui ir išspręstume lygtį. Atsakymas: x = 14/3. Mes nustatėme, kaip pasislenka, tai yra ta vieta, kur grafika keičia išgaubtą į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybė - įgaubta. Labai svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad diagramos įskilimo taškas turėtų būti lygus ir minkštas, neturėtų būti aštrių kampų.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir sukurti grafikąfunkcija. Mes baigėme tyrimą, dabar mes negalėsime sugalvoti funkcijos grafiko. Norėdami tiksliau ir išsamiau išreikšti kreivę arba tiesia linija koordinatės plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Gana lengva juos apskaičiuoti. Pavyzdžiui, imkime x = 3, išspręskime gautą lygtį ir surasime y = 4. Arba x = 5, o y = -5 ir tt Papildomi taškai, kuriuos galite priimti tiek, kiek reikia statyti. Bent 3-5 iš jų yra rasta.

Grafikos brėžinys

Mums reikėjo ištirti funkciją(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Visi skaičiavimų metu pateikti pastabos buvo išdėstytos koordinačių plokštumoje. Viskas, ką dar reikia padaryti, yra sukurti grafiką, ty visus taškus sujungti. Jei norite prisijungti prie taškų sklandžiai ir tiksliai, tai yra įgūdžių reikalas - šiek tiek praktikos ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

</ p>>